A álxebra exterior das formas diferenciais

Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2018-2019. ; [GL] As formas diferenciais, introducidas por Élie Cartan, son obxectos que aparecen de forma natural en cálculo multivariable, xeometría diferencial e física. O obxectivo deste traballo é estudar algunhas nocións elementais sobre as formas diferenciais en variedades diferenciables. As formas diferenciais defínense como seccións diferenciables de certos fibrados vectoriais, e teñen estrutura de álxebra exterior graduada. Estudamos algúns operadores lineares que son derivacións e antiderivacións da álxebra exterior das formas diferenciais e dependen só da estrutura diferenciable da variedade: a diferencial exterior, a derivada de Lie con respecto dun campo de vectores e o produto interior ou contracción cun campo de vectores; estudamos tamén as relacións entre estes operadores. Analizamos ademais como a diferencial exterior da lugar a certos espazos vectoriais asociados functorialmente ca variedade, o que leva á cohomoloxía de De Rham. ; [EN] Differential forms, introduced by Élie Cartan, are objects that occur naturally in multivariable calculus, differential geometry and physics. The goal of this work is to study elementary facts concerning differential forms on manifolds. They are defined as differentiable sections of certain vector bundles and have an algebraic structure of graded exterior algebra. We study some linear operators which are derivations or anti-derivations of the exterior algebra of differential forms and depend only on the differentiable structure of the manifold: the exterior derivative, the Lie derivative with respect to some vector field and the interior product or contraction with a vector field; we also study the interaction between these operators. We analyze as exterior differentiation gives rise to some vector spaces functorially associated with the manifold and leads to de Rham cohomology.