Morita contexts, ideals, and congruences for semirings with local units.

We consider Morita contexts for semirings that have certain local units but not necessarily an identity element. We show that the existence of a Morita context with unitary bisemimodules and surjective maps implies that the two semirings involved have isomorphic quantales of ideals and lattices of congruences. [ABSTRACT FROM AUTHOR]

Klassikaliselt [1;2, ptk 6] on Morita ekvivalentsus defineeritud ühikelemendiga ringide klassil: kaht ringi peetakse ekvivalentseks, kui nende vasakpoolsete (ja samaväärselt parempoolsete) moodulite kategooriad on ekvivalentsed. See tingimus on samaväärne nn Morita konteksti olemasoluga. Morita kontekst koosneb kahest bimoodulist üle nende kahe ringi ja kahest homomorfismist nende bimoodulite tensorkorrutistest ringidesse, mis peavad rahuldama teatud tingimusi. Morita konteksti definitsioon võib tunduda keeruline, aga selle abil on mitmeid väiteid Morita ekvivalentsuse kohta tõestada lihtsam kui kategoorse definitsiooni abil. Morita ekvivalentsuse mõistet on mitmel viisil edukalt üldistatud muudele struktuuridele kui ühikelemendiga ringid. Esiteks on vaadeldud mitmesuguste lokaalsete ühikutega ringe [3,4]. Sel juhul tuleb Morita ekvivalentsuse ja Morita konteksti definitsioonides asendada suvalised moodulid unitaarsete moodulitega. Teine üldistussuund on olnud ringide ja moodulite asendamine poolrühmade ning polügoonidega. Monoidide korral [5,6] on Morita ekvivalentsus väga lähendane isomorfismile ja seetõttu ei paku eriti huvi. Kui aga nõuda (analoogiliselt ringidega) poolrühmadelt ühikelemendi asemel lokaalsete ühikute olemasolu ja vaadelda suvaliste polügoonide asemel unitaarseid, tekib sisukas teooria, kus kehtivad mitmed ringidega analoogilised tulemused [7]. Poolring on algebraline struktuur, kus Abeli rühma aditiivne struktuur ringi definitsioonis on asendatud monoidiga. Ringi moodulitele vastavad poolringi poolmoodulid. On loomulik küsimus, kas Morita teooriat on võimalik arendada ka poolringide korral ja kas see on lähedasem ringide või poolrühmade Morita teooriale. Ühikelemendiga poolringide jaoks uurisid Morita ekvivalentsust esimestena Katsov ja Nam [8] ning edasi Sardar, Gupta ja Saha [9-11]. Lokaalsete ühikutega poolringide jaoks uuris Morita ekvivalentsust esimesena Liu [12]. Käesolevas artiklis läheneme lokaalsete ühikutega poolringide Morita teooriale teisest suunast - Morita kontekstide poolt. Sel juhul ei ole veel tõestatud Morita ekvivalentsuse samaväärsus Morita konteksti olemasoluga. Näitame, et Morita konteksti leidumisest koos tingimustega, mis on analoogilised lokaalsete ühikutega ringide ja poolrühmade jaoks vajalike tingimustega, järeldub, et kahel poolringil on isomorfsed ideaalide ning kongruentside võred. Analoogilisi tulemusi on varem poolrühmade jaoks saanud Laan ja Márki [13] ning ühikelemendiga poolringide jaoks Sardar ja Gupta [10]. [ABSTRACT FROM AUTHOR]